Despre conceptul de limita in matematica
Pana la cat putem numara? O mie, un milion, un miliard? Putem sa nascocim un numar oricat de mare si totusi putem aduna o unitate obtinand astfel un numar si mai mare. Ne putem intreba atunci: exista o limita pana unde putem numara? Raspunsul este negativ, deoarece sirul numerelor naturale – adica 1, 2, 3, si asa mai departe – nu are o limita, ci continua la nesfarsit. Matematicienii vorbesc in acest caz despre un sir de numere care este nemarginit sau tinde la infinit. Conceptul de limita exista doar impreuna cu conceptul de sir de numere care cresc sau descresc conform unei relatii intre termenii sai. Faptul ca limita unui astfel de sir, numit convergent, este finita – adica 1, π sau 2009 – sau infinita, nu este relevant. Intrebarea este daca sirurile convergente isi ating limita sau nu?
Cel mai bun mod de a intelege subtilitatea intrebarii este prin intermediul unui exemplu. Cu 2500 de ani in urma, Zenon din Elea (ca. 490 BC? – ca. 430 BC?) punea mintea compatriotilor sai la incercare cu unul dintre cele cinci paradoxuri, si anume paradoxul miscarii. Un calator vrea sa ajunga din orasul A in orasul B. Pentru aceasta, calatorul trebuie, pentru inceput, sa parcurga jumate din distanta dintre cele doua orase. Pentru a parcurge aceasta jumatate a distantei, calatorul trebuie sa parcurga, pentru inceput, jumatatea jumatatii drumului, adica o patrime din drum. La fel, pentru a parcurge patrimea din drum, el trebuie, pentru inceput, sa parcurga jumatea patrimii, adica o optime, si asa mai departe. Rationamentul lui Zenon este urmatorul: daca procesul ar continua suficient de mult, la un moment dat distanta pe care calatorul trebuie s-o parcurga la inceputul calatoriei dintre orasele A si B este zero, astfel neexistand miscare. Dar de vreme ce putem sa ne miscam, undeva trebuie sa fie o greseala, dar unde?
Se observat ca sirul pe care Zenon il construieste este: distanta initiala, jumatatea distantei, patrimea distantei, optimea distantei, etc., adica in termeni matematici
De vreme ce distanta initiala devine din ce in ce mai mica, limita sirului este zero. Ramane de vazut daca sirul isi atinge limita sau nu. Zenon, in paradoxul sau pleaca de la premisa ca sirul isi atinge
limita ceea ce duce la concluzia ca nu exista miscare.
Oare are Zenon dreptate cu premisa sa? Sa luam un alt exemplu. Presupunem ca avem o roata de cascaval de 2 kg pe care-l taiem in doua bucati egale. O jumate o punem deoparte, iar cealalta jumatate o taiem din nou in jumate. Avem atunci o jumatate si doua sferturi. Punand iar un sfert deoparte si taind in doua celalalt sfert, vom avea: o jumatate, un sfert si doua optimi. Putem observa ca obtinem chiar sirul de numere ca si in cazul paradoxului mersului al lui Zenon pentru bucatile de cascaval pe care le punem deoparte. Putem continua acest proces, dar oare cat de mult? Dupa doar 10 pasi cele doua bucati de cascaval vor mai cantari aproximativ 2 g, iar dupa alti 10 pasi mai putin de 2 mg. In realitate, procesul divizarii nu poate continua de nenumarate ori, dar matematic da. Exista asadar un pas in cadrul procesului cand, dupa divizare, elementul sirului nu mai exista real, ci doar abstract sub forma unui numar. Pentru ca trecerea de la obiectul real la cel abstract sa permita o revenire din abstract la real, trebuie ca regula divizarii in jumate sa ramana valabila in ambele cazuri. Adica, de fiecare data cand taiem in doua o bucata de cascaval, cele doua jumatati de cascaval vor avea inca masa, deoarece oricat de putin ar cantari o bucata de cascaval, nu se poate ca prin taiere in doua cele doua jumatati sa nu mai aibe masa. Asadar, chiar daca limita sirului greutatilor de cascaval este zero, ea nu va fi atinsa niciodata.
Sa mai luam un exemplu: sa ne imaginam ca avem un caiet care are un numar infinit de pagini. In prima zi scriem doua randuri in caiet, dar ne dam seama ca e prea putin pentru a descrie ce s-a intamplat in ziua respectiva, asa ca ne hotaram, ca din urmatoarea zi sa scriem 5 randuri pe zi. Sirul pe care-l putem construi in acest caz este, de exemplu, cel al mediei randurilor scrise. In prima zi vom avea 2 randuri, in a doua zi 3,5 randuri, in a treia zi 4 randuri, in a patra zi vor fi 4,25 si asa mai departe. Dupa 100 de zile media va fi 4,97, iar dupa 10000 de zile va fi 4,9997, iar limita sirului este 5 randuri. Isi atinge sirul limita sa? Nu, caci daca si-ar atinge limita asta ar insemna ca si in prima zi am scris tot 5 randuri ceea ce este fals, deoarece am scris doar 2 randuri. Pentru simplul fapt ca in prima zi am scris un numar diferit de 5 randuri in caiet face ca media randurilor pe care le-am scris sa ramana diferita de 5, adica limita sa nu fie atinsa oricat de multe zile am scrie cate 5 randuri.
In concluzie, nici un sir convergent de numere reale (evident nu ne referim la sirul constant) nu-si atinge limita. Revenind la exemplul lui Zenon observam ca rationamentul sau era gresit, iar calatorul va ajunge intr-un final in orasul B. Greseala lui Zenon este ca se bazeaza doar pe sirul abstract, care-i permite sa divizeze oricat de mult, ajungand la zero. In realitate o distanta data nu poate fi micsorata incat sa nu mai existe deloc. Rationamentul lui Zenon induce faptul ca cele doua orase coincid.
Putem observa doua proprietati ale sirurilor convergente:
1. Faptul ca sirul convergent nu-si atinge limita implica faptul ca nu exista un ultim element, intotdeauna exista si acel element +1. In cazul lui Zenon exista un ultim element care coincide cu limita.
2. Faptul ca nu exista un ultim element al sirului inseamna ca sirul contine un numar infinit de elemente.
Cineva, cu putine cunostiinte de analiza matematica, ne-ar putea insa spune: da, sirurile nu-si ating limita, dar de vreme ce integrala este rezultatul unei limite, cum de valoarea ei coincide cu valoarea exacta a suprafetei unei figuri geometrice? Intr-adevar, integrala reprezinta aria unei suprafete, de exemplu dreptunghiul de lungime 2 unitati si latime o unitate va avea suprafata 2. Calculand intregrala corespunzatoare, adica
obtinem aceasi valoare. Am observat mai devreme ca valoarea limitei nu poate fi atinsa, atunci apare intrebarea, cum de cele doua valori coincid? Am spus anterior ca limita unui sir exista doar impreuna cu sirul. Care este sirul de numere acarui limita este integrala? Sirul care converge la valoarea integralei este sirul aproximarilor succesive ale suprafetei pe care vrem s-o calculam. Astfel ca, fiecare termen al sirului care se aproprie de limita aproximeaza mai bine valoarea reala a suprafetei, dar n-o va atinge fiindca sirul nu-si poate atinge limita. Dar ceea ce ne intereseaza la suprafata nu este o aproximare, ci valoarea exacta, iar aceasta este data de valoarea limitei, adica a integralei. Integrala reprezita valoarea ideala a aproximatiei, de aceea, nu sirul aproximatiilor succesive este important in acest caz, ci doar valoarea limitei la care tinde, adica valoarea suprafetei.
Se poate face o paralela intre cuplul sir-limita si cuplul viteza-pozitie din principiul de nedeterminare al lui Heisenberg, care spune ca, cu cat masuram mai exact viteza unei particule cu atat mai inexact poate fi masurata pozitia particulei si reciproc. Adica, punand accentul pe un sir convergent nu atingem limita, iar daca consideram o anumita limita exista o multidudine de siruri care pot converg spre aceasta limita. S-ar putea spune, ca si in cazul lui Heisenberg, ca sir-limita este un cuplu complenentar.
